初等数学高考导数知识点

初等数学高考导数知识点

一、函数的单调性

在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.

f(x)f(x)在(a，b)上为增函数.

f(x)f(x)在(a，b)上为减函数.

二、函数的极值

1、函数的极小值：

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小，f(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.

2、函数的极大值：

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f(b)=0，而且在点x=b附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

三、函数的最值

1、在闭区间[a，b]上连续的'函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.

2、若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.

四、求可导函数单调区间的一般步骤和方法

1、确定函数f(x)的定义域;

2、求f(x)，令f(x)=0，求出它在定义域内的一切实数根;

3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;

4、确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.

五、求函数极值的步骤

1、确定函数的定义域;

2、求方程f(x)=0的根;

3、用方程f(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格;

4、由f(x)=0根的两侧导数的符号来判断f(x)在这个根处取极值的情况.

六、求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

1、求函数在(a，b)内的极值;

2、求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b);

3、将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

特别提醒：

1、f(x)0与f(x)为增函数的关系：f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-，+)上单调递增，但f(x)0，所以f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件.

2、可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y|x=0=0，但x=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.

3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.