2022年自考02198《线性代数》复习资料(三)

一、重点

1、理解：向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出，极大线性无关组的概念，线性相关与线性无关的概念，向量组的秩的概念，矩阵的秩的概念及性质，基础解系的概念。

2、掌握：向量的运算及运算规律，矩阵秩的计算，齐次、非齐次线性方程组解的结构。

3、运用：线性相关、线性无关的判定，线性方程组解的判断，齐次、非齐次线性方程组的解法。

二、难点

线性相关、线性无关的判定。向量组的秩与矩阵的秩的关系。方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。

三、重点难点解析

1、n维向量的概念与运算

1)概念

2)运算

若α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T

①加法：α+β=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)T

②数乘：kα=(ka1，ka2，…，kan)T

③内积：(α。β)=a1b1+a2b2+，…，+anbn=αTβ=βTα

2、线性组合与线性表出

3、线性相关与线性无关

1)概念

2)线性相关与线性无关的充要条件

①线性相关

α1，α2，…，αs线性相关

<==>齐次方程组(α1，α2，…，αs)(x1，x2，…，xs)T=0有非零解

<==>向量组的秩r(α1，α2，…，αs)<s(向量的个数)< p="">

<==>存在某αi(i=1，2，…，s)可由其余s-1个向量线性表出

特别的：n个n维向量线性相关<==>│α1α2…αn│=0

n+1个n维向量一定线性相关

②线性无关

α1，α2，…，αs线性无关

<==>齐次方程组(α1，α2，…，αs)(x1，x2，…，xs)T=0只有零解

<==>向量组的秩r(α1，α2，…，αs)=s(向量的个数)

<==>每一个向量αi(i=1，2，…，s)都不能用其余s-1个向量线性表出

③重要结论

A、阶梯形向量组一定线性无关

B、若α1，α2，…，αs线性无关，则它的任一个部分组αi1，αi2，…，αi t必线性无关，它的任一延伸组必线性无关。

C、两两正交，非零的向量组必线性无关。

4、向量组的秩与矩阵的秩

1)极大线性无关组的概念

2)向量组的秩

3)矩阵的秩

①r(A)=r(AT)

②r(A+B)≤r(A)+r(B)

③r(kA)=r(A)，k≠0

④r(AB)≤min(r(A)，r(B))

⑤如A可逆，则r(AB)=r(B);如B可逆，则r(AB)=r(A)

⑥A是m×n阵，B是n×p阵，如AB=0，则r(A)+r(B)≤n

4)向量组的秩与矩阵的秩的关系

①r(A)=A的行秩(矩阵A的行向量组的秩)=A的列秩(矩阵A的列向量组的秩)

②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变

③若向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出，则r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)。特别的，等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

5、基础解系的概念及求法

1)概念

2)求法

对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元(共有r(A)个主元)，那么剩于的其他未知数就是自由变量(共有n-r(A)个)，对自由变量按阶梯形赋值后，再带入求解就可得基础解系。

6、齐次方程组有非零解的判定

1)设A是m×n矩阵，Ax=0有非零解的充要条件是r(A)<n，亦即a的列向量线性相关。< p="">

2)若A为n阶矩阵，Ax=0有非零解的充要条件是│A│=0

3)Ax=0有非零解的充分条件是m<n，即方程个数<未知数个数< p="">

7、非齐次线性方程组有解的判定

1)设A是m×n矩阵，Ax=b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A增)的秩，即r(A)=r(A增)

2)设A是m×n矩阵，方程组Ax=b

①有唯一解<==>r(A)=r(A增)=n

②有无穷多解<==>r(A)=r(A增)

③无解<==>r(A)+1=r(A增)

8、非齐次线性方程组解的结构

如n元线性方程组Ax=b有解，设，η2，…，ηt是相应齐次方程组Ax=0的基础解系，ξ是Ax=b的一个解，则k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax=b的通解。

1)若ξ1，ξ2是Ax=b的解，则ξ1-ξ2是Ax=0的解

2)若ξ是Ax=b的解，η是Ax=0的解，则ξ+kη仍是Ax=b的解

3)若Ax=b有唯一解，则Ax=0只有零解;反之，当Ax=0只有零解时，Ax=b没有无穷多解(可能无解，也可能只有唯一解)

四、题型及解题思路

1、有关n维向量概念与性质的命题

2、向量的加法与数乘运算

3、线性相关与线性无关的证明

1)定义法

设k1α1+k2α2+…+ksαs=0，然后对上式做恒等变形(要向已知条件靠拢!)

①由B=C可得AB=AC，因此，可按已知条件的信息对上式乘上某个A

②展开整理上式，直接用已知条件转化为齐次线性方程组，最后通过分析论证k1，k2，…，ks的取值，得出所需结论。

2)用秩(等于向量个数)

3)齐次方程组只有零解

4)反证法

4、求给定向量组的秩和极大线性无关组

多用初等变换法，将向量组化为矩阵，通过初等变换来求解。

5、求矩阵的秩

常用初等变换法。

6、求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组