2022年自考02198《线性代数》复习资料(二)

一、重点

1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。

2、掌握：行列式的基本性质及推论。

3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。

二、难点

行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。

三、重要公式

1、若A为n阶方阵，则│kA│=kn│A│

2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│。│B│

3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1

若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1

4、若A为n阶方阵，λi(i=1，2，…，n)是A的特征值，│A│=∏λi

四、题型及解题思路

1、有关行列式概念与性质的命题

2、行列式的计算(方法)

1)利用定义

2)按某行(列)展开使行列式降阶

3)利用行列式的性质

①各行(列)加到同一行(列)上去，适用于各列(行)诸元素之和相等的情况。

②各行(列)加或减同一行(列)的倍数，化简行列式或化为上(下)三角行列式。

③逐次行(列)相加减，化简行列式。

④把行列式拆成几个行列式的和差。

4)递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式

5)数学归纳法，多用于证明

3、运用克莱姆法则求解线性方程组

若D=│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即

x1=D1/D，x2=D2/D，…，xn=Dn/D

其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。

注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。

4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题

1)当│A│=0时，齐次方程组Ax=0有非零解;非齐次方程组Ax=b不是唯一解(可能无解，也可能有无穷多解)

2)当│A│≠0时，齐次方程组Ax=0仅有零解;非齐次方程组Ax=b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出。