2022年自考02198《线性代数》复习资料(一)

一、重点

1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵(零矩阵，上(下)三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵)

2、掌握：

1)矩阵的各种运算及运算规律

2)矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法

3)矩阵的初等变换方法

二、难点

1、矩阵的求逆矩阵的初等变换

2、初等变换与初等矩阵的关系

三、重要公式及难点解析

1、线性运算

1)交换律一般不成立，即AB≠BA

2)一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵

(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2

(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2

(AB)k≠AkBk

(A+B)(A-B)≠A2-B2

以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。

3)由AB=0不能得出A=0或B=0

4)由AB=AC不能得出B=C

5)由A2=A不能得出A=I或A=0

6)由A2=0不能得出A=0

7)数乘矩阵与数乘行列式的区别

2、逆矩阵

1)(A–1)–1=A

2)(kA)–1=(1/k)A–1，(k≠0)

3)(AB)–1=B–1A–1

4)(A–1)T=(AT)–1

5)│A–1│=│A│–1

3、矩阵转置

1)(AT)T=A

2)(kA)T=kAT，(k为任意实数)

3)(AB)T=BTAT

4)(A+B)T=AT+BT

4、伴随矩阵

1)A*A=A A*=│A│I(AB)*=B*A*

2)(A*)*=│A│n-2│A*│=│A│n-1，(n≥2)

3)(kA)*=kn-1A*(A*)T=(AT)*

4)若r(A)=n，则r(A*)=n

若r(A)=n-1，则r(A*)=1

若r(A)

5)若A可逆，则(A*)-1=(1/│A│)A，(A*)-1=(A-1)*，A*=│A│A-1

5、初等变换(三种)

1)对调二行(列)

2)用k(k≠0)乘以某行(列)中所有元素

3)把某行(列)的元素的k倍加至另一行(列)的对应元素

注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用

②求逆阵，只能用行或列变换

③求线性方程组的解，只能用行变换

6、初等矩阵

1)由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵

2)初等阵P左(右)乘A，所得PA(AP)就是A作了一次与P同样的行(列)变换

3)初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵

E-1ij=Eij，E(-1)i(k)=Ei(1/k)，E(-1)ij(k)=Eij(-k)

7、矩阵方程

1)含有未知矩阵的等式

2)矩阵方程有解的充要条件

AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量线性表示

<==>r(A)=r(A┆B)

四、题型及解题思路

1、有关矩阵的概念及性质的命题

2、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置)

3、矩阵可逆的判定

n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B，有AB=BA=I

<==>│A│≠0

<==>r(A)=n

<==>A的列(行)向量组线性无关

<==>Ax=0只有零解

<==>任意b，使得Ax=b总有唯一解

<==>A的特征值全不为零

4、矩阵求逆

1)定义法：找出B使AB=I或BA=I

2)伴随阵法：A-1=(1/│A│)A*

注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏(-1)i+j，当n>3时，通常用初等变换法。

3)初等变换法：对(A┆I)只用行变换化为(I┆A-1)

4)分块矩阵法

5、解矩阵方程AX=B

1)若A可逆，则X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X

2)若A可逆，可用初等变换法直接求出X

(A┆B)初等行变换(I┆X)

3)若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列常数项分别求解。