2024年考研数学：线性代数之行列式

一、 行列式

行列式是线性代数中的基本运算。该部分单独出题情况不多，很多时候，考试将其与其它知识点(矩阵、线性方程组、特征值与特征向量等)结合起来考查。行列式的重点是计算，包括数值型行列式、抽象型行列式和含参数行列式的计算。

结合考试分析，建议考生从行列式自身知识、与其它知识的联系这两方面来把握该部分内容。具体如下：

1. 行列式自身知识

考生应在理解定义、掌握性质及展开定理的基础上，熟练掌握各种形式的行列式的计算。行列式计算的基本思路是利用性质化简，利用展开定理降阶。常见的计算方法有：“三角化”法，直接利用展开定理，利用范德蒙行列式结论，逆向运用展开定理。

2. 行列式与其它知识的联系

行列式与其它知识(线性方程组的克拉默法则、由伴随矩阵求逆矩阵、证明矩阵可逆、判定n个n维向量线性相关(无关)、计算矩阵特征值、判断二次型的正定性)有较多联系。考生应准确把握这些联系，并灵活运用。

二、行列式的性质

1、行列式和它的转置行列式的值相同。

2、互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。

3、如果一个行列式的两行(或两列)完全相同，那么这个行列式的值等于零

4、把一个行列式的某一行(或某一列)的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k乘这个行列式。

5、一个行列式的某一行(或某一列)的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。

6、如果一个行列式的某一行(或某一列)的所有元素都为零，那么行列式值等于零。

7、如果一个行列式的某二行(或某二列)的对应元素成比例，那么行列式值等于零。

8、如果行列式D的某一行(或某一列)的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D等于两个行列式D1和D2的和。

9、把行列式的某一行(或某一列)的元素乘同一个数后，加到另一行(或另一列)的对应元素上，行列式值不变。

10、如果行列式的某一行(列)的每个元素都是m个数之和(m>2)，则此行列式等于m个行列式之和。

11、如果行列式的某一行(列)的每个元素都是m个数之和(m>2)，则此行列式等于m个行列式之和。