2024年考研数学：微积分的基本内容

微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。

积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。

微积分模块主要包括极限与连续，一元函数微分学，一元函数积分学，微分方程与差分方程，向量数与空间解析几何，多元函数微积分学和无穷级数。

一、函数、极限、连续

【考试内容】

函数的概念及表示法、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数、函数关系的建立。

数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限；函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。

二、一元函数微分学

【考试内容】

导数和微分的概念、导数的几何意义和经济意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线与法线、导数和微分的四则运算、基本初等函数的导数、复合函数、反函数和隐函数的微分法、高阶导数、一阶微分形式的不变性、微分中值定理、洛必达(L'Hospital)法则、函数单调性的判别、函数的极值、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘、函数的最大值与最小值。

三、一元函数积分学

【考试内容】

原函数和不定积分的概念、不定积分的基本性质、基本积分公式、定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、积分上限的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式、不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常(广义)积分定积分的应用

四、多元函数微积分学

【考试内容】

多元函数的概念、二元函数的几何意义、二元函数的极限与连续的概念、有界闭区域上二元连续函数的性质、多元函数偏导数的概念与计算、多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数、全微分、多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值、二重积分的概念、基本性质和计算、无界区域上简单的反常二重积分。

五、无穷级数

【考试内容】

常数项级数的收敛与发散的概念、收敛级数的和的概念、级数的基本性质与收敛的必要条件、几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、任意项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数与莱布尼茨定理、幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域、幂级数的和函数、幂级数在其收敛区间内的基本性质、简单幂级数的和函数的求法、初等函数的幂级数展开式。

六、常微分方程与差分方程

【考试内容】

常微分方程的基本概念、变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、线性微分方程解的性质及解的结构定理、二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程、差分与差分方程的概念、差分方程的通解与特解、一阶常系数线性差分方程、微分方程的简单应用。