高中数学的快速做题方法（五）

高中数学的快速做题方法（五）

1 . 一个美妙的公式

已知三角形中AB=a，AC=b，O为三角形的外心，则向量AO×向量BC(即数量积)=(1/2)[b²-a²]证明：过O作BC垂线，转化到已知边上

2 . 函数

①函数单调性的含义：大多数同学都知道若函数在区间D上单调，则函数值随着自变量的增大(减小)而增大(减小)，但有些意思可能有些人还不是很清楚，若函数在D上单调，则函数必连续(分段函数另当别论)这也说明了为什么不能说y=tanx在定义域内单调递增，因为它的图像被无穷多条渐近线挡住，换而言之，不连续.还有，如果函数在D上单调，则函数在D上y与x一一对应.这个可以用来解一些方程.至于例子不举了

②函数周期性：这里主要总结一些函数方程式所要表达的周期设f(x)为R上的函数，对任意x∈R(1)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加绝对值，下同)(2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a(4)设T≠0，有f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)满足M[M(x)]=x,且M(x)≠x则函数的周期为2

3 . 奇偶函数概念的推广

(1)对于函数f(x)，若存在常数a，使得f(a-x)=f(a+x)，则称f(x)为广义(Ⅰ)型偶函数，且当有两个相异实数a，b满足时，f(x)为周期函数T=2(b-a)

(2)若f(a-x)=-f(a+x)，则f(x)是广义(Ⅰ)型奇函数，当有两个相异实数a，b满足时，f(x)为周期函数T=2(b-a)

(3)有两个实数a，b满足广义奇偶函数的方程式时，就称f(x)是广义(Ⅱ)型的奇，偶函数.且若f(x)是广义(Ⅱ)型偶函数，那么当f在[a+b/2，∞)上为增函数时，有f(x1)<f(x2)等价于绝对值x1-(a+b p="" <="" 2)<绝对值x2-(a+b)="">

4 . 函数对称性

(1)若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则函数关于(a+b/2，c/2)成中心对称(2)若f(x)满足f(a+x)=f(b-x)则函数关于直线x=a+b/2成轴对称

柯西函数方程：若f(x)连续或单调(1)若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),则f(x)=㏒ax

(2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),则f(x)=x²u(u由初值给出)

(3)f(x+y)=f(x)f(y)则f(x)=a²x

(4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,则f(x)=ax2+bx

(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),则f(x)=ax+b特别的若f(x)+f(y)=f(x+y)，则f(x)=kx

5 . 与三角形有关的定理或结论中学数学平面几何最基本的图形就是三角形

①正切定理(我自己取的，因为不知道名字)：在非Rt△中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

②任意三角形射影定理(又称第一余弦定理)：在△ABC中，a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA

③任意三角形内切圆半径r=2S/a+b+c(S为面积)，外接圆半径应该都知道了吧

④梅涅劳斯定理：设A1,B1，C1分别是△ABC三边BC，CA，AB所在直线的上的点，则A1，B1，C1共线的充要条件是CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B=1

6. 易错点

(1)函数的各类性质综合运用不灵活，比如奇偶性与单调性常用来配合解决抽象函数不等式问题;

(2)三角函数恒等变换不清楚，诱导公式不迅捷。

7 . 易错点

(1)忽略三角函数中的有界性，三角形中角度的限定，比如一个三角形中，不可能同时出现两个角的正切值为负

(2)三角的平移变换不清晰，说明：由y=sinx变成y=sinwx的步骤是将横坐标变成原来的1/∣w∣倍

8 . 易错点

(1)数列求和中，常常使用的错位相减总是粗心算错规避方法：在写第二步时，提出公差，括号内等比数列求和，最后除掉系数;

(2)数列中常用变形公式不清楚，如：an=1/[n(n+2)]的求和保留四项

9 . 易错点

(1)数列未考虑a1是否符合根据sn-sn-1求得的通项公式;

(2)数列并不是简单的全体实数函数，即注意求导研究数列的最值问题过程中是否取到问题

10 . 易错点

(1)向量的运算不完全等价于代数运算;

(2)在求向量的模运算过程中平方之后，忘记开方。比如这种选择题中常常出现2，√2的答案…，基本就是选√2，选2的就是因为没有开方;

(3)复数的几何意义不清晰